Бинарной операцией являются

36

Таким образом, отображение ϕ: А→ В сохраняет операцию. Но это отображение не является изоморфным, так как различные матрицы могут иметь одинаковый определитель. Итак,ϕ – гомоморфизм А на В.

Самой простой алгеброй является непустое множество G с одной двуместной (бинарной) операцией, т.е. для любыхa,b G определен результат операцииa°b G.

Множество с одной двуместной операцией называют группоидом. Полугруппа – это множествоG, на котором введена одна ассоциативная

eToro - Popular Investor

двуместная (бинарная) операция, т.е. для a,b,c G: a°(b°c)= (a°b)°c. Таким образом, полугруппа это группоид, в котором операция ассоциативна.

Рассмотрим примеры. 1. Пусть А – алфавит. Множество всевозможных слов в алфавите обозначим через А+. ЕслиP иQ – слова в алфавите А, то их сцепка (конкатенация)PQ тоже слово в алфавите А. Ясно, что множество слов А+ образует полугруппу относительно операции конкатенации.

2. Пусть Р – множество полиномов вида а0+а1х+а2х2+…+аnxn, гдеai – любые действительные числа (0≤i ≤n,n ≥ 0). Тогда множество Р является полугруппой относительно, например, сложения полиномов или относительно умножения полиномов.

Моноид – это полугруппа с единицей:

е(еG), что для а изG: e°a=a°e=a.

Рассмотрим примеры. 1. Пусть А+ множество слов в алфавите А. Введем пустое слово (слово без букв)ε и положим А*=А+ {ε}. Тогда А* с операцией конкатенации слов образует моноид. Роль единицы играет пустое слово.

2. Пусть Т – множество некоторых переменных. Подстановкой, или заменой переменных, называется множество пар

G={tk1 /vk1, tk2 /vk2, …, tkr /vkr}.

Результатом применения подстановки к переменной vki будет выражение, полученное заменойvki наtki, 1≤i ≤r. Композицией подстановокG1 иG2 называется последовательное применение сначалаG1, затемG2. Множество подстановок с операцией композицией подстановок образует моноид, единицей которого является тождественная подстановка, в которой вместоtki подставляетсяtki (1≤i ≤r).

Теорема 2.2. Единица моноида единственна.

37

Доказательство. Допустим, существуют две единицы: e1,e2 G.

Известно, что для а G: e° a=a° e=a. Тогдаe1° e2=e2= e1° e2 =e1 e1= e2.

единица единица

Теорема 2.3. Всякий моноид над множеством М изоморфен некоторому моноиду преобразований над М.

Доказательство. Пусть имеем моноид над М: М= M;• . Построим новое множествоG, элементами которого являются отображения (преобразования)fg множества М в М:

fg(x)=x• g,

здесь x,g M.

Введём операцию «°» на построенном множестве:fg°fq = fg•q. Эта операция ассоциативна в силу ассоциативности операции•. Роль единицы относительно операции° играетfe, где е единица в М.

Построим теперь отображение ϕ множества М вG:

ϕ(g)=fg.

Это отображение, очевидно, является взаимно однозначным. Кроме того, имеем:

ϕ(g• q)=fg• q=fg°fq=ϕ(g)°ϕ(q),

т.е. ϕ сохраняет операцию.

Таким образом моноид А= M;• изоморфен моноиду В= G, ° . Что и требовалось доказать.

§ 6. Группы

Группа – это моноид, в котором для любого элемента существует обратный элемент, т.е.

a a-1:a°a-1=a-1°a=e,

здесь a-1 считается обратным к элементу а иa-1 принадлежит этому моноиду. Собирая все аксиомы (условия), получим следующее определение

группы.

Множество G с одной бинарной операций «°» называем группой, если:

1)операция ассоциативна, т.е. для a,b,c изG: a°(b°c)= (a°b)°c;

2)существует единица в G,т.е. такой элемент e G, что для a G: a°e=e°a=a;

3)для любого элемента a G существует обратный элемент, т.е. такой элементa-1 G, что а° а-1=а-1° а=е.

38

Отметим, что существуют другие эквивалентные определения группы. Если операция в группе называется умножением, то группа называется мультипликативной, если групповая операция называется сложением, то

группа называется аддитивной.

Рассмотрим примеры. 1. Множество невырожденных квадратных порядка n×n матриц действительных чисел образует группу относительно операции умножения матриц. Единицей группы является единичная матрица, а обратным элементом – обратная матрица. Эта группа является мультипликативной группой.

2.Все целые числа образуют аддитивную группу относительно операции сложения чисел. Единицей группы будет 0, а обратным элементом для числа m является число(-m).

3.Пусть М – непустое множество и G=2M – множество всех подмножеств множества М. НаG введем операцию как симметрическую разность:

А°В=А В.

Можно убедиться, что эта операция ассоциативна. Пустое множество

будет единицей, ибо

А° =А=А и°А= А=А.

Обратным к А будет сам элемент А, так как

А А= .

Таким образом, G с введенной операцией симметрической разности является группой.

Теорема 2.4. Обратный элемент в группе единственен.

Доказательство. Допустим, что для а существует два обратных

элемента а1-1 иа2-1,тогда

e = a1-1°a=a2-1°a=e.

Умножив элементы этого равенства справа на a1-1, получим

a1-1=(a1-1°a)°a1-1= (a2-1°a)°a1-1= a1-1a1-1= a2-1°(a°a1-1)= a2-1a1-1= a2-1.

Теорема 2.5. В группе выполняются следующие соотношения:

1)(a° b)-1=b-1 ° а -1;

2)если a° b =а° с,то b=c;

3)если b° a = c° a,то b=c;

4)(a -1)-1 =a.

39

Доказательство. 1) (a°b)°b-1°a-1=a°(b°b-1)°a-1=a°e°a-1=a°a-1=e; b-1°a-1

°(a°b) =b-1° (a-1 °a)°b= е. Следовательно,b-1°a-1 является обратным элементом для(a° b);

2) a°b=a°ca-1°(a°b)=a-1°(a°c)(a-1°a)°b=(a-1°a)°ce°b=e°c b=c.

Аналогично для остальных утверждений.

Теорема 2.6. В группе можно однозначно решить уравнениеa°x=b.

Доказательство. a°x=ba-1° (a°x)=a-1°b(a-1°a)°x=a-1°be°x =a-1°bх =a-1°b.

Группа называется коммутативной или абелевой, если для a,b G: a°b=b°a.

Положим, что если k=0, тоbk = е; еслиk >0, тоbk =b°b°…°b; если же

k < 0,то bk =b-1°b-1°…°b-1.

k раз

(-k)раз

Пусть В – некоторое подмножество группы G. Если любой элемент а мультипликативной (аддитивной) группыG можно представить в виде произведения (суммы) элементов из В и их обратных, то элементы из В

называются образующими. Так, если В={b1, b2, …, bn} и дляa G имеем:

a=b1k1°b2k2°…°bnkn,

то элементы множества В являются образующими группы. Группа с одной образующей называется циклической.

Таким образом, в циклической группе с образующей а, любой элементb группы представим в видеb=am, гдеm – некоторое целое число.

Циклическая группа состоит из степеней одного элемента. Для этой группы существует две возможности. Либо все степени ak различны, тогда

циклическая группа

…, a-2,a-1,a0=e, a1, a2, …

бесконечна. Либо оказывается, что существуют k иm такие, что:ak=am, k>m>0,

тогда

ak-m=e(k-m>0).

Пусть в этом случае n-наименьшийположительный показатель, при котором

an=e. Тогда степени

a0, a1, a2, …,an-1

различны, иначе, если ah=ak (0≤ k< h≤ n), то получим, чтоah-k=e (0