Бинарные отношения примеры решения задач

Рассмотрим важные логические понятия, связанные с отношениями, которые, в частности, используются в любой аксиоматике геометрии.

Прямое произведение множеств

eToro - Popular Investor

Упорядоченной парой [math]langle{x,y}rangle[/math] называется совокупность, состоящая из двух элементов [math]x[/math] и [math]y[/math], взятых в определенном порядке: элемент [math]x[/math] считается в паре первым, а элемент [math]y[/math] — вторым. Две упорядоченные пары [math]langle{x_1,y_1}rangle[/math] и [math]langle{x_2,y_2}rangle[/math] называются равными тогда и только тогда, когда [math]x_1=x_2[/math] и [math]y_1=y_2[/math].

Прямым (декартовым) произведением множеств [math]X[/math] и [math]Y[/math] называется множество всех упорядоченных пар [math]langle{x,y}rangle[/math] таких, что [math]xin X[/math] и [math]yin Y[/math]. Прямое произведение обозначается [math]Xtimes Y[/math], а в случае [math]Y=X[/math] — просто [math]X^2[/math], т.е. [math]Xtimes X=X^2[/math].

Аналогично определяются упорядоченные тройки, четверки и т.д., а также прямые произведения трех, четырех и т.д. множеств. Например, прямым произведением [math]overbrace{mathbb{R}times mathbb{R}times cdotstimes mathbb{R}}^{n}=mathbb{R}^n[/math] множеств [math]mathbb{R}[/math] действительных чисел называется множество всех упорядоченных наборов [math]langle x_1,x_2,ldots,x_n rangle[/math] из [math]n[/math] действительных чисел [math]x_1,x_2,ldots,x_n[/math].

Пример В.1. Для числовых множеств [math]X={1;2}[/math] и [math]Y={3;4}[/math] найти: [math]Xtimes Y,~Ytimes X,~X^2,~Y^2[/math].

Решение. По определению находим:

[math]begin{aligned}Xtimes Y&={langle 1;3 rangle,langle 1;4 rangle,langle 2;3 rangle,langle 2;4 rangle }\[3pt]Ytimes X&={langle 3;1 rangle,langle 3;2 rangle,langle 4;1 rangle,langle 4;2 rangle }\[3pt]X^2=Xtimes X&={langle 1;1 rangle,langle 1;2 rangle,langle 2;1 rangle,langle 2;2 rangle }\[3pt]Y^2=Ytimes Y&={langle 3;3 rangle,langle 3;4 rangle,langle 4;3 rangle,langle 4;4 rangle }\[3pt]end{aligned}[/math]

Заметим,что [math]X times Y ne Y times X[/math].

Отношение эквивалентности

Бинарным отношением р на множестве [math]X times Y[/math] называется подмножество [math]rho[/math] этого множества упорядоченных пар [math]langle x,y rangle,~x in X,~y in Y[/math]. Если пара [math]langle x,y rangle[/math] принадлежит отношению [math]rho[/math], то пишут [math]langle x,y rangle in rho[/math] или [math]x,rho,y[/math]. Если [math]Y=X[/math] , то отношение [math]rho[/math], т.е. подмножество множества [math]X^2[/math], называют бинарным отношением на множестве [math]X[/math].

Бинарное отношение [math]rho[/math] на множестве [math]X[/math] называется:

— рефлексивным, если [math]x,rho,x[/math] для любого [math]x in X[/math] ;

— симметричным, если для любых [math]x,y in X[/math] из [math]x,rho,y[/math] следует, что [math]y,rho,x[/math];

— транзитивным, если для любых [math]x,y,z in X[/math] из [math]x,rho,y[/math] и [math]y,rho,z[/math] следует, что [math]x,rho,z[/math].

Рефлексивное, симметричное и транзитивное отношение на множестве [math]X[/math] называется отношением эквивалентности на множестве [math]X[/math] и обозначается символом [math]sim[/math].

Пример В.2. Даны бинарные отношения:

а) отношение [math]=~(x=y[/math] — “[math]x[/math] равен [math]y[/math]”) на множестве действительных чисел;

б) отношение [math]